谱分解

谱定理

矩阵 A 的特征值的集合有时称为 A 的谱。

定理 3（对称矩阵的谱定理）一个对称的 n×n 矩阵 A 具有下述性质

• A 有 n 个特征值，包含重复的特征值。
• 对每一个特征值 λ，对应的特征空间的维数等于 λ 作为特征方程的根的重数。
• 特征空间相互正交，这种正交性是在特征向量对应于不同特征值的意义下成立的。
• A 可正交对角化。

谱分解

谱分解，又称特征分解。是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

矩阵的特征分解

令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个线性独立的特征向量 。这样， A 可以被分解为

$$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^{-1}$$

其中Q 是_N_×_N_方阵，且其第 _i_列为 A 的特征向量 $q_i$。

Λ 是对角矩阵，其对角线上的元素为对应的特征值，也即 ${\Lambda }_{ii}={\lambda }_i$。这里需要注意只有可对角化矩阵才可以作特征分解。比如 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ 不能被对角化，也就不能特征分解。

对特殊矩阵的特征分解

对称矩阵

任意的 N×N 实对称矩阵的特征值都是实数且都有 N 个线性无关的特征向量。并且这些特征向量都可以正交单位化而得到一组正交且模为 1 的向量。故实对称矩阵 A 可被分解成

$$\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^{-1}=\mathbf{Q}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{Q}}^T$$

其中 Q 为 正交矩阵， Λ 为实对角矩阵。

正规矩阵

类似地，一个复正规矩阵具有一组正交特征向量基，故正规矩阵可以被分解成

$$\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{\Lambda }{\mathbf{U}}^H$$

其中 U 为一个酉矩阵。进一步地，若 A 是埃尔米特矩阵，那么对角矩阵 Λ 的对角元全是实数。若 A 还是酉矩阵，则 Λ 的所有对角元在复平面的单位圆上取得。