范数

拥有不同范数的单位圆

定义

范数，是具有“长度”概念的函数。

绝对值范数

绝对值范数为

$$\Vert x\Vert =\sum _i^n\left|x_i\right|$$

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

绝对值范数是曼哈顿范数的特殊形式。

绝对值范数为

是在由实数或虚数构成的一维向量空间中的范数。

欧几里德范数

在 n 维欧几里德空间${\displaystyle {\mathbb{R}}^n}$上，向量${\displaystyle \mathit{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^{\mathrm{T}}}$的最符合直觉的长度由以下公式给出

$$\begin{gathered} {\displaystyle } \\ |\mathit{x} \\ {|}_2:=\sqrt{x_1^2+\cdots +x_n^2}. \end{gathered}$$

欧几里得距离

在欧几里得空间中，点$ x =( x_1 ,...,x_n) $和 $ y =( y_1,...,y_n)$之间的欧氏距离为

$${\displaystyle d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1{)}^2+(x_2-y_2{)}^2+\cdots +(x_n-y_n{)}^2}}$$