矩阵对角化

可对角化矩阵

如果存在一个可逆矩阵 P 使得 $P^{-1}AP$ 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。

矩阵对角化的方法

考虑矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ 2& -4& 2\end{array}\right)$$

这个矩阵有特征值

$${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=1$$

所以 A 是有三个不同特征值的 3 × 3 矩阵，所以它是可对角化的。

如果我们要对角化 A，我们需要计算对应的特征向量。它们是

$$v_1=\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 2\end{array}\right)v_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)v_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$$

我们可以轻易的验证

$$A{v}_k={\lambda }_k{v}_k$$

现在，设 P 是由这些特征向量作为纵列的矩阵:

$$P=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)$$

则 P 对角化了 A，简单的计算可验证:

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 2& 0& 1\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 3& 0\\ 2& -4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -1\\ -1& 0& 0\\ 2& 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

注意特征值 ${\lambda }_k$ 出现在对角矩阵中。

附录

可对角化矩阵