欧拉角

重要

本文内容默认以右手笛卡尔坐标系为基础

欧拉角变换矩阵

定义

欧拉角是三维空间中用于表示一个物体相对于一个固定坐标系（通常是参考坐标系或世界坐标系）的方向的一组角。这种表示方法定义了三次旋转，将物体从其初始方向旋转到期望方向。欧拉角通常表示为三个角度：α，β，和γ分别对应于绕z轴，x轴（或y轴），以及再次y轴（或x轴）的旋转。
刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。

定义一个欧拉角，需要明确的信息

1. 三个旋转角的组合方式
2. 旋转角度的参考坐标系统（旋转是相对于固定的坐标系还是相对于自身的坐标系）
3. 使用旋转角度是左手系还是右手系
4. 三个旋转角的记法
5. 主动旋转还是被动旋转

所有旋转顺序(12种)

z-x-z，x-y-x，y-z-y，z-y-z, x-z-x，y-x-y

x-y-z，y-z-x，z-x-y，x-z-y，z-y-x，y-x-z

内在旋转与外在旋转

内在旋转每次旋转围绕的轴是上次旋转之后坐标系的某个轴
外在旋转每次旋转的轴是固定坐标系中的轴

互换第一次和第三次旋转的位置则两者结果相同
例如Z-Y-X旋转的内部旋转和X-Y-Z旋转的外部旋转的旋转矩阵

主动旋转和被动旋转

主动旋转是指将向量逆时针围绕旋转轴旋转
被动旋转是对坐标轴进行的逆时针旋转，相当于主动旋转的逆操作