谱分解

谱定理 Link to heading

矩阵 A 的特征值的集合有时称为 A 的谱。

定理 3（对称矩阵的谱定理）一个对称的 n×n 矩阵 A 具有下述性质 Link to heading

  • A 有 n 个特征值，包含重复的特征值。
  • 对每一个特征值 λ，对应的特征空间的维数等于 λ 作为特征方程的根的重数。
  • 特征空间相互正交，这种正交性是在特征向量对应于不同特征值的意义下成立的。
  • A 可正交对角化。

谱分解 Link to heading

谱分解，又称特征分解。是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

矩阵的特征分解 Link to heading

令 A 是一个 N×N 的方阵，且有 N 个 线性独立 的特征向量 {\displaystyle q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N)} 。这样， A 可以被 分解 为

$$ \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1} $$

其中Q 是_N_×_N_方阵，且其第 _i_列为 A 的特征向量 $q_{i}$。

Λ 是 对角矩阵 ，其对角线上的元素为对应的特征值，也即 $Λ_{ii} = \lambda_{i}$。这里需要注意只有 可对角化矩阵 才可以作特征分解。比如 $ \begin{bmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{bmatrix} $ 不能被对角化，也就不能特征分解。

对特殊矩阵的特征分解 Link to heading

对称矩阵 Link to heading

任意的 N×N 实对称矩阵 的特征值都是实数且都有 N 个线性无关的特征向量。并且这些特征向量都可以正交单位化而得到一组正交且 模 为 1 的向量。故实对称矩阵 A 可被分解成

$$ \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{T} $$

其中 Q 为 正交矩阵 ， Λ 为实 对角矩阵 。

正规矩阵 Link to heading

类似地，一个复 正规矩阵 具有一组正交特征向量基，故正规矩阵可以被分解成

$$ \mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{H} $$

其中 U 为一个 酉矩阵 。进一步地，若 A 是 埃尔米特矩阵 ，那么对角矩阵 Λ 的对角元全是实数。若 A 还是酉矩阵，则 Λ 的所有对角元在 复平面 的 单位圆 上取得。