矩阵对角化
可对角化矩阵 Link to heading
如果存在一个可逆矩阵 P 使得 $P^{−1}AP$ 是对角矩阵，则它就被称为可对角化的。
矩阵对角化的方法 Link to heading
考虑矩阵
$$ A={ \begin{pmatrix} 1&2&0\\ 0&3&0\\ 2&-4&2 \end{pmatrix} } $$这个矩阵有 特征值
$$ \lambda_{1}=3,\quad \lambda_{2}=2,\quad \lambda_{3}=1 $$所以 A 是有三个不同特征值的 3 × 3 矩阵，所以它是可对角化的。
如果我们要对角化 A，我们需要计算对应的 特征向量 。它们是
$$ v_{1}= \begin{pmatrix} -1\\ -1\\ 2 \end{pmatrix} \quad v_{2}= \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \quad v_{3}= \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 2 \end{pmatrix} $$我们可以轻易的验证
$$ Av_{k}= \lambda_{k} v_{k} $$现在，设 P 是由这些特征向量作为纵列的矩阵:
$$ P= \begin{pmatrix} -1&0&-1\\ -1&0&0\\ 2&1&2 \end{pmatrix} $$则 P 对角化了 A，简单的计算可验证:
$$ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 0&-1&0\ 2&0&1\ -1&1&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&2&0\ 0&3&0\ 2&-4&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1&0&-1\ -1&0&0\ 2&1&2 \end{pmatrix} Link to heading
\begin{pmatrix} 3&0&0\ 0&2&0\ 0&0&1 \end{pmatrix} $$
注意特征值 $\lambda_{k}$ 出现在对角矩阵中。