特殊矩阵

正规矩阵 Link to heading

正规矩阵$\mathbf{A}$是与自己的 共轭转置 满足 交换律 的 复系数 方块 矩阵 ，也就是说，$\mathbf{A}$满足

$$ \mathbf {A} ^{*}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{*} $$

其中$A^{*}$是$A$的 共轭转置 。

如果A是实系数矩阵，则$A*=A^T$，从而条件简化为$A^TA=AA^T$

在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。

酉矩阵 Link to heading

酉矩阵（又译作幺正矩阵）指其 共轭转置 恰为其 逆矩阵 的 复数 方阵 ，数学描述如下：

  • （数学定义）{\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}}，
  • （推论）{\displaystyle U^{-1}=U^{*}}。

其中 U* 是 U 的 共轭转置 ，In 是 n×n 单位矩阵 。

酉矩阵是 正交矩阵 （元素均为 实数 ）在 复数 的推广。

埃尔米特矩阵 Link to heading

埃尔米特矩阵（又称厄米特矩阵，厄米矩阵），也称自 伴随 矩阵，是 共轭 对称 的 方阵 。埃尔米特矩阵中每一个第 i 行第 j 列的元素都与第 j 行第 i 列的元素的 复共轭 。
例如{\displaystyle {\begin{pmatrix}3&2+i\\2-i&1\end{pmatrix}}}就是一个埃尔米特矩阵。

显然，埃尔米特矩阵 主对角线 上的元素都是 实数 ，其特征值也是实数。
实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。