概率论重点公式

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$$ P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i) \ = P(A|B_1)P(B_1) + P(A|B_2)P(B_2) + \cdots + P(A|B_n)P(B_n) $$

$$ P(B_i|A) = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)} \ = \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)} $$

$$ P(A \cap B) = P(A|B)P(B) $$

$$ P(A , B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B) $$

$$ P(I_1, I_2, \cdots, I_n) = P(I_1)P(I_2|I_1)P(I_3|I_1, I_2) \cdots P(I_n|I_1, I_2, \cdots, I_{n-1}) $$$$ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $$

在条件概率的框架下，如果 $I_1, I_2, \cdots, I_n$ 在给定参数 $\lambda$ 下是独立的，那么他们的联合条件概率可以分解为

$$ P(I_1, I_2, \cdots, I_n | \lambda) = P(I_1 | \lambda)P(I_2 | \lambda) \cdots P(I_n | \lambda) $$

如果不独立，联合条件概率可以分解为

$$ P(I_1, I_2, \cdots, I_n | \lambda) = P(I_1 | \lambda)P(I_2 | I_1, \lambda) \cdots P(I_n | I_1, I_2, \cdots, I_{n-1}, \lambda) $$